Descomposició en components bàsiques

Per poder analitzar millor les dades, es realitza la seva descomposició en les seves components bàsiques, és a dir, el model aditiu de la sèrie:

\[ X_t = T_t + S_t + C_t + \omega_t \] on: * \(T_t\) és la tendència de la sèrie a llarg termini. * \(S_t\) és el seasonal de la sèrie (patró repetit periòdicament amb període constant). * \(C_t\) és el cicle de la sèrie (patró repetit periòdicament amb període no constant). Aquesta part no surt representada en la descomposició. * \(\omega_t\) és el soroll aleatòri.

S’observa, tal i com s’havia comentat anteriorment, la clara tendència creixent de la sèrie, amb un creixement menys pronunciat a l’inici, una petita baixada entre els anys 20017 i 2010 i una pujada més pronunciada més cap a l’actualitat.

Pel que fa al patró estacional, observem que durant els mesos d’estiu, el número de turistes a Espanya augmenta molt considerablement. Aquest fet que no crida l’atenció, ja que és durant els mesos d’estiu quan més vacances s’agafa la gent i més aprofiten per venir a les costes espanyoles. Durant els mesos de tardor-hivern, observem que el número de turistes cau en picat.

Variància constant

En primer lloc, s’estudiarà si es pot considerar que la variància de les dades sigui constant en el temps. Es comprova amb un plot de la variància front la mitjana i un boxplot de les dades cada 12 mesos (que és la freqüència de les nostres dades) que la variància, efectivament, no és constant.

Tal i com s’havia observat a simple vista, la variància augmenta a mesura que agumenta la mitja. Per tant, no podem assumir variància constant. Amb el boxplot es confirma aquesta hipòtesis.

Així doncs, es procedeix a realitzar una transformació logarítmica ( amb \(\lambda = 0\)) de la sèrie per homogeneïtzar la variància. Els resultats obtinguts són els següents:

Veiem que encara hi ha una tendència creixent causada per un valor anormalment gran, si l’eliminem i tornem a fer el plot veiem que, en efecte, s’homogenitza la variància tal i com volíem.

Ara la variància ja es pot considerar constant.

Patró estacional

En segon lloc, s’estudiarà l’existència d’un patró estacional en les nostres dades. En cas que hi sigui present, es realitzarà una diferenciació d’ordre 12 per eliminar aquest patró, és a dir, \[ W_t := X_t - X_{t-12} = (1 - B^{12})X_t \] on \(B\) és el backshift operator. Es realitza un monthplot per comprovar-ne l’existència.

Tal i com s’havia comenta, s’observa una clara pujada de la presència de turistes durant els mesos d’estiu i una baixada en picat en l’entrada de l’hivern/tardor. Així doncs, és necessària una diferenciació d’ordre 12 per eliminar aquest patró.

S’observa que amb una diferenciació d’ordre 12 s’ha eliminat el patró estacional.

Ara bé, la mitjana de la sèrie encara no és constant.

Mitjana constant

Per últim, es vol aconseguir que la sèrie tingui mitjana constant igual (i si és possible igual a 0) per a poder considerar definitivament la sèrie com un procés estacionari. Per aconseguir-ho, es realitzaran diferenciacions regulars de la sèrie fins que s’obtingui el resultat desitjat

\[ W_t = X_t - X_{t-1} = (1 - B)X_t \]

Es realitza la primera diferenciació. Els valors de mitjana i variància aconseguits són els seguents:

## [1] "Mean of d1d12logserie: -0.0003272784840803"

## [1] "Variance of d1d12logserie: 0.00426696529209441"

Com es pot observar, la mitjana del procés diferenciat regularment un cop es pot arribar a considerar constant i nula.

Es mira de diferenciar un segon cop per veure si la variància augmenta i, per tant, hi ha overdifferentiation.

S’observa que la variància augmenta. Així que ens quedarem amb la primera sèrie.

En definitiva, la sèrie transformada pel logaritme, diferenciada un cop i amb una diferenciació d’ordre 12 per eliminar el patró estacional (\(\texttt{d1d12logserie}\)) és un procés estacionari de mitjana 0.

Models proposats per la part regular (p,d,q)

En relació a la part regular de la sèrie, en la funció d’AutoCorrelació (ACF) s’observa un decreixement exponencial alternat en tots els valors. S’observen també valors fora de la banda de confiança en retards llunyans, però poden ser assignats a la aleatorietat del cas 5%. Per tant, en aquest cas, es proposaria \(q=0\) pel decreixement exponencial.

En tot cas, si es volgués mirar d’incloure el primer valor que sobresurt més que la resta, es podria considerar també \(q=1\).

Pel que fa a la funció de Correlació Parcial (PACF) s’observa que els dos primers valors sobresurten més significativament que la resta. La resta de valors es poden considerar nuls, ja que o bé estan dintre de l’interval de confiança, o bé es poden assignar al cas d’aleatorietat del 5%. Per tant, per la part regular, es proposaria \(p=2\).

Donat que s’ha realitzat diferenciació un cop, es té que \(d=1\). Per tant, els models proposats per la part regular serien \(AR(2)\) o, en tot cas, \(ARMA(2,1)\) sobre la sèrie transformada regular.

Models proposats per la part estacional (P,D,Q)

En relació a la part estacional de la sèrie, en la funció d’AutoCorrelació (ACF) s’observa que el primer valor es força significatiu, però també ho són el tercer, el quart i el cinquè, sobretot el quart. Donat que volem intentar proposar un model simplificat, es proposa \(Q=0\).

Pel que fa a la funció de Correlació Parcial (PACF) s’observa que sobresurt el primer valor una mica i també sobresurten el tercer i el quart valor lleugerament. Ara bé, no sobresurten de manera tant significativa com en el cas dels valors del ACF i, per tant, podem assignar-ho al cas d’aleatorietat del 5%.

Per tant, en aquest cas, es proposaria \(P=1\). En tot cas, es podria proposar \(P=4\) per mirar d’incluir aquests valors que sobresurten de la banda de confiança.

Donat que s’ha realitzat una diferenciació d’ordre 12 per eliminar el patró estacional, es té que \(D=1\). Per tant, el model proposat per la part regular seria un \(AR(1)\)

Homogeneïtat de la variància

Per comprovar l’homogeneïtat de la variància dels residus, s’analitzen el plot dels mateixos residus, el plot de l’arrel quadrada del seu valor absolut i les funcions ACF i PACF del seu quadrat.

En el cas del primer model (\(\texttt{mod.1}\)) no s’observa cap tipus de patró (ni creixent ni decreixent) en el plot dels residus o en el plot de l’arrel quadrada del seu valor absolut. A més, en l’ACF i el PACF del quadrat dels residus tots els valors estan dintre de la banda de confiança i, per tant, els podem considerar nuls.

En el cas del segon model (\(\texttt{mod.2}\)), es poden extreure les mateixes conclusions que en el primer model i, per tant, també es pot assumir homogeneïtat de variància residual.

Normalitat

Per comprovar la normalitat dels residus dels models proposats s’estudiarà el Q-Q plot, l’histograma dels residus amb la normal que s’hauria de seguir sobreposada i es realitzarà el test de Sharipo-Wilks.

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(model)
## W = 0.96408, p-value = 1.713e-05

En el cas del model \(\texttt{mod.1}\), s’observa en el Q-Q plot que els quartils es situen sobre la línia dels quartils teòrics i que l’histograma s’ajusta a la distribució normal a la que s’hauria d’ajustar (tot i tenir les dues barres més grans una mica per fora de la corba normal). A més, el p-value del test de Sharipo-Wilks és \(1.713 \times 10^{-05}\), menor que 0.05 i, per tant, es pot assumir la hipòtesi de normalitat en els residus.

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(model)
## W = 0.96197, p-value = 9.536e-06

En el cas del model \(\texttt{mod.2}\), les conclusions que s’extreuen són les mateixes. En aquest cas, el p-value és de \(9.53 \times 10^{-06}\). Per tant, també assumim normalitat en aquest cas. En l’histograma, en aquest cas, només hi ha una barra que sobresurt de la corba normal.

Independència

Per comprovar la independència en els residus buscarem que els coeficients de l’autocovariància \(\rho(k) = 0\), \(\forall k > 0\). S’estudiarà el ACF i el PACF dels residus i es realitzarà el test de Ljung-Box.

Pel que fa al primer model, en primer lloc observem que les funcions ACF i PACF prenen valors pràcticament iguals (menys alguns retards llunyans que en un són positius i en l’altre negatius, però estan dins la banda de confiança en els dos casos), cosa que ja fa intuïr que es complirà la independència.

Els residus estandaritzats prenen valors dintre de la franja de (-2,2), la gran majoria, que és el comportament esperat. Ara bé, els p-values del test Ljung-Box tenen valors superiors a 0.05 en els primers retards però en els retards llunyans no es pot assumir la independència. Tot i així, donat que en els primers retards sí que es té independència, s’assumeix aquesta hipòtesi pel model.

En el segon model, en canvi, observem més diferències entre les gràfiques del ACF i el PACF. Ara bé, en aquest cas els p-values del test de Ljung-Box estan tots per sobre de 0.05 i, per tant, podem assumir independència en tots els residus.

Estacionaritat i invertibilitat dels models

Per analitzar l’estacionaritat i la invertibilitat dels models proposats, s’expresaran els models com a models \(AR(\infty)\) i \(MA(\infty)\):

\[ (1 - \phi_1B - \cdots - \phi_pB^p)X_t = (1 + \theta_1B + \cdots + \theta_qB^q)Z_t \] \[ AR(\infty): \quad \frac{1 - \phi_1B - \cdots - \phi_pB^p}{1 + \theta_1B + \cdots + \theta_qB^q}X_t = (1 - \pi_1B - \pi_2B - \cdots) X_t = Z_t\] \[ MA(\infty): \quad \frac{1 + \theta_1B + \cdots + \theta_qB^q}{1 - \phi_1B - \cdots - \phi_pB^p}Z_t = (1 + \psi_1B + \psi_2B + \cdots) Z_t = X_t\] A partir d’aquí el models seran invertibles si el mòdul de totes les arrels del polinomi característic \(\theta_q(B) = 1 + \theta_1B + \cdots + \theta_qB^q\) és major que 1, és a dir, si \(\sum_{i\geq 0} \pi_i^2 < \infty\).

Per per altra banda, seran estacionaris si el mòdul de totes les arrels del polinomi característic \(\phi_q(B) = 1 - \phi_1B - \cdots - \phi_qB^q\) és major que 1, és a dir, si \(\sum_{i\geq 0} \psi_i^2 < \infty\).

En el cas del primer model, s’observa que es compleixen totes les condicions i, per tant, el \(\texttt{mod.1}\) és estacionari i invertible.

## 
## Modul of AR Characteristic polynomial Roots:  1.086772 1.086772 1.086772 1.086772 1.086772 1.086772 1.086772 1.086772 1.086772 1.086772 1.086772 1.086772 1.675221 1.675221

## 
## Modul of MA Characteristic polynomial Roots:

## 
## Psi-weights (MA(inf))

## 
## --------------------

##        psi 1        psi 2        psi 3        psi 4        psi 5 
## -0.712679068  0.151578740  0.145923872 -0.158009352  0.060612509 
##        psi 6        psi 7        psi 8        psi 9       psi 10 
##  0.013106635 -0.030939044  0.017379286 -0.001361260 -0.005222667 
##       psi 11       psi 12       psi 13       psi 14       psi 15 
##  0.004207147 -0.369553394  0.261873824 -0.054948029 -0.054153900 
##       psi 16       psi 17       psi 18       psi 19       psi 20 
##  0.058174132 -0.022162680 -0.004934468  0.011413980 -0.006376192

## 
## Pi-weights (AR(inf))

## 
## --------------------

##       pi 1       pi 2       pi 3       pi 4       pi 5       pi 6 
## -0.7126791 -0.3563327  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000 
##       pi 7       pi 8       pi 9      pi 10      pi 11      pi 12 
##  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000 -0.3684161 
##      pi 13      pi 14      pi 15      pi 16      pi 17      pi 18 
## -0.2625624 -0.1312787  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000 
##      pi 19      pi 20 
##  0.0000000  0.0000000

En el cas del segon model, també es compleix tot i, per tant, també és invertible i estacionari.

## 
## Modul of AR Characteristic polynomial Roots:  1.01494 1.01494 1.031881 1.031881 1.031881 1.01494 1.01494 1.031881 1.01494 1.01494 1.01494 1.01494 1.031881 1.031881 1.01494 1.01494 1.01494 1.01494 1.01494 1.01494 1.031881 1.031881 1.01494 1.031881 1.031881 1.01494 1.01494 1.031881 1.031881 1.031881 1.031881 1.01494 1.01494 1.031881 1.01494 1.031881 1.031881 1.01494 1.031881 1.031881 1.031881 1.031881 1.031881 1.01494 1.01494 1.031881 1.031881 1.784666 1.784666 1.01494

## 
## Modul of MA Characteristic polynomial Roots:

## 
## Psi-weights (MA(inf))

## 
## --------------------

##        psi 1        psi 2        psi 3        psi 4        psi 5 
## -0.635389324  0.089751056  0.142465394 -0.118699998  0.030691060 
##        psi 6        psi 7        psi 8        psi 9       psi 10 
##  0.017767293 -0.020925175  0.007717262  0.001666381 -0.003481778 
##       psi 11       psi 12       psi 13       psi 14       psi 15 
##  0.001689093 -0.370760402  0.235046879 -0.032939177 -0.052868124 
##       psi 16       psi 17       psi 18       psi 19       psi 20 
##  0.043933706 -0.011316081 -0.006603685  0.007748804 -0.002850158

## 
## Pi-weights (AR(inf))

## 
## --------------------

##       pi 1       pi 2       pi 3       pi 4       pi 5       pi 6 
## -0.6353893 -0.3139685  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000 
##       pi 7       pi 8       pi 9      pi 10      pi 11      pi 12 
##  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000 -0.3707803 
##      pi 13      pi 14      pi 15      pi 16      pi 17      pi 18 
## -0.2355899 -0.1164134  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000 
##      pi 19      pi 20 
##  0.0000000  0.0000000

Comparació entre els ACF/PACF mostrals i els ACF/PACF teòrics

Per últim, comparem els valors del ACF i el PACF de les dades amb els valors teòric. S’observa que, en el cas del model \(\texttt{mod.2}\), els valors teòrics s’aproximen gairebé perfectament als valors mostrals. En el cas del segon model també es podria dir el mateix. Per tant, ambdós models s’aproximen als valors de ACF/PACF de les mostres, potser una mica millor el \(\texttt{mod.2}\) (ja que té més coeficients per calcular els valors teòrics).